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(江苏专版)2017年高考数学二轮专题复*与策略 第1部分 专题5 解析几何 第17讲 圆锥曲线

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专题限时集训(十八) 圆锥曲线的定义、方程与性质

(建议用时:4 5 分钟) 1.设抛物线 C1 的方程为 y=210x2,它的焦点 F 关于原点的对称点为 E.若曲线 C2 上的点

到 E,F 的距离之差的绝对值等于 6,则曲线 C2 的标准方程为________. 【解析】 方程 y=210x2 可化为 x2=20y,它的焦点为 F(0,5),所以点 E 的坐标为(0,
-5),根据题意,知曲线 C2 是焦点在 y 轴上的双曲线,设方程为ya22-xb22=1(a>0,b>0), 则 2a=6,a=3,又 c=5,b2=c2-a2=16,
y2 x2 所以曲线 C2 的标准方程为 9 -16=1.
y2 x2 【答案】 9 -16=1
x2 y2 2.(2016·常州期末)已知双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐*线经过点 P(1,-

2),则该双曲线的离心率为________.

5

x2 y2 [双曲线a2-b2=1

的渐*线方程为

y=±bax.

【导学号:19592052】

由点 P(1,-2)在其直线上,得ba=2.

∴离心率 e= 1+???ab???2= 1+4= 5.] 3.(2016·苏北四市摸底)已知双曲线 x2-ym22=1(m>0)的一条渐*线方程为 x+ 3y=0,

则 m=________.

3 3

[双曲线

x2-ym22=1(m>0)的渐*线方程为

y=±mx(m>0).由题意可知

m=

3 3 .]

4.(2016·南京盐城一模)在*面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,

焦点在 x 轴上,若曲线 C 经过点 P(1,3),则其焦点到准线的距离为________.

9 2

[由题意,可设曲线 C 的方程为 y2=2px(p>0).

由于点 P(1,3)满足 y2=2px,即 9=2p,∴p=92.

故焦点到准线的距离为92.]

5.已知椭圆 C:xa22+yb22=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 33,过 F2 的直

线 l 交 C 于 A,B 两点.若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为________.

x2 y2 3 + 2 =1

[由

e=

3c 3 得a=

33①.又△AF1B

的周长为

4

3,由椭圆定义,得 4a=4

3,

得 a= 3,代入①得 c=1,

∴b2=a2-c2=2,故

C

x2 y2 的方程为 3 + 2 =1.]

6.设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,则

AB=________.

12 [∵F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,∴F???34,0???,

∴AB 的方程为 y-0=tan 30°???x-34???,即 y= 33x- 43.

??y2=3x,

联立? ??y=

33x-

43,

得13x2-72x+136=0.

7 ∴x1+x2=--12=221,即 xA+xB=221.
3

由于 AB=xA+xB+p,∴AB=221+32=12.] 7.(2016·南通三模)在*面直角坐标系 xOy 中,双曲线xa22-y2=1 与抛物线 y2=-12x

有相同的焦点,则双曲线的两条渐*线的方程为________.

y=± 42x [抛物线 y2=-12x 的焦点为(-3,0), 故双曲线xa22-y2=1 满足 a2+1=9,∴a2=8.

∴a=±2 2.

∴双曲线的渐*线方程 y=±xa=± 42x.] 8.已知 F1,F2 是椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)的左,右焦点,过 F1 的直线与椭圆相交于 A,B

→→

→→

两点,若AB·AF2=0,且|AB|=|AF2|,则椭圆的圆心率为________.

6- 3 [在 Rt△ABF2 中,设 AF2=m, 则 BF2= 2m, 所以 4a=(2+ 2)m,

又在 Rt△AF1F2 中,AF1=2a-m= 22m, F1F2=2c, 所以(2c)2=??? 22m???2+m2=32m2, 即 2c= 26m,所以 e=ca=22ca

26m



= 6- 3.]

???1+ 22???m

9.已知 F 是椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)的左焦点,P 是椭圆上的一点,PF⊥x 轴,OP∥AB(O

为原点),则该椭圆的离心率是________.

【导学号:19592053】

图 17-2

2 2

[把 x=-c 代入椭圆方程,得 y=±ba2,∴PF=ba2.

∵OP∥AB,PF∥OB,∴△PFO∽△BOA,

b2

PF OB a b ∴OF=OA,即c =a,得

b=c,e=

22.]

10.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 依次交抛物线及其准线于点 A,B,C,若

BC=2BF,且 AF=3,则抛物线的方程是________.

y2=3x [设 A(x1,y1),B(x2,y2),作 AM,BN 垂直准线于点 M,N(图略),则 BN=BF, 又 BC=2BF,得 BC=2BN,所以∠NCB=30°,有 AC=2AM=6,

设 BF=x,则 2x+x+3=6? x=1,又 x1+p2=3,x2+p2=1,且 x1x2=p42,

所以???3-p2??????1-p2???=p42,解得 p=32,从而抛物线方程为 y2=3x.]

11.设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是________.
(2,+∞) [∵x2=8y,∴焦点 F 的坐标为(0,2),准线方程为 y=-2.由抛物线的定义 知 MF=y0+2.以 F 为圆心、FM 为半径的圆的标准方程为 x2+(y-2)2=(y0+2)2.
由于以 F 为圆心、FM 为半径的圆与准线相交,又圆心 F 到准线的距离为 4,故 4<y0+2, ∴y0>2.]
12.如图 17-3,已知直线 l:y=k(x+1)(k>0)与抛物线 C:y2=4x 相交于 A,B 两点, 且 A,B 两点在抛物线 C 的准线上的射影分别是 M,N,若 AM=2BN,则 k=________.

图 17-3

22 3

[设直线 l 与曲线 C 的准线的交点为 E,因为 AM=2BN,所以 BE=BA,即 B 为 AE

的中点,设 A(x1,y1),B(x2,y2),得 2x2=x1-1,由?????yy=2=k4x,x+



得 k2x2+(2k2-4)x

+k2=0,所以 x2·x1=1,即x1-2 1·x1=1,得 x1=2,y1=2 2,x2=12,y2= 2,k=2 3 2.] 13.(2013·辽宁高考)已知 F 为双曲线 C:x92-1y62 =1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点.若

PQ 的长等于虚轴长的 2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为________. x2 y2
44 [由 9 -16=1,得 a=3,b=4,c=5. ∴PQ=4b=16>2a. 又∵A(5,0)在线段 PQ 上,∴P,Q 在双曲线的一支上, 且 PQ 所在直线过双曲线的右焦点,

由双曲线定义知????? PQFF- -PQAA= =22aa= =66, , ∴PF+QF=28. ∴△PQF 的周长是 PF+QF+PQ=28+16=44.] 14.椭圆 Γ :xa22+yb22=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y= 3

(x+c)与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________. 3-1 [已知 F1(-c,0),F2(c,0),
直线 y= 3(x+c)过点 F1,且斜率为 3, ∴倾斜角∠MF1F2=60°. ∵∠MF2F1=12∠MF1F2=30°,

∴∠F1MF2=90°,∴MF1=c,MF2= 3c.

由椭圆定义知 MF1+MF2=c+ 3c=2a,

∴离心率 e=ca=1+2

= 3

3-1.]

15.(2016·宿迁模拟)已知动点 P(x,y)在椭圆2x52 +1y62 =1 上,若 A 点的坐标为(3,0),



→→



|AM|=1,且PM·AM=0,则|PM|的最小值为________.

→ 3 [由|AM|=1,A(3,0),知点 M 在以 A(3,0)为圆心,1 为半径的圆上运动,

→→ ∵PM·AM=0 且 P 在椭圆上运动,∴PM⊥AM,即 PM 为⊙A 的切线,连结 PA(如图),则



→→



|PM|= |PA|2-|AM|2= |PA|2-1,

→ ∵|PA|min=a-c=5-3=2,
→ ∴|PM|min= 3.] 16.椭圆 C:xa22+yb22=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同
的点 P,使得△F1F2P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是________.
???13,12???∪???12,1??? [当点 P 位于椭圆的两个短轴端点时,△F1F2P 为等腰三角形,此时有
2 个.

若点不在短轴的端点时,要使△F1F2P 为等腰三角形,则有 PF1=F1F2=2c 或 PF2=F1F2= 2c.此时 PF2=2a-2c.所以有 PF1+F1F2>PF2,即 2c+2c>2a-2c,所以 3c>a,即ca>13,又当点

P 不在短轴上,所以 PF1≠BF1,即 2c≠a,所以ca≠12.

所以椭圆的离心率满足13<e<1

且 e≠12,即???13,12???∪???12,1???.]



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